Topos理论首部著作问世，这是当代科技前沿离不开的数学,tops原则的要求

近日，国际知名数学家黎景辉教授出版了《Topos 理论》一书，该书是高等教育出版社“现代数学基础丛书”之一。Topos 理论具有宏大的理论框架，由极具开创性和深刻性的法国数学家 Grothendieck 及其学生 Verdier首创，曾长期仅被少数代数几何学家和几何逻辑学家使用，但进入 21 世纪后，其应用范围迅速扩展，涵盖信息系统控制、网络管理、神经网络、计算复杂性、量子理论与量子计算等领域。本书作为专门研究Topos理论的介绍性材料，可以让读者了解理论来源和后续发展的同时，又能快速掌握并应用。本书可供数学及相关专业的师生使用，也可供信息科学、量子计算、神经网络、现代通信等领域的科研人员参考。

下文为黎景辉教授为本书所写的序言，标题为编者所加。

撰文 | 黎景辉

在 20 世纪 60 年代，法国数学家对代数学进行了全面而深刻的革新，为其构建了全新的语言、观点、问题与方法。这种大规模的变革在整个数学史中是极为罕见的，这一工程的主要领导者之一便是伟大的数学家 Alexander Grothendieck (1928—2014)。本书的主题 Topos 理论便是这个时期的产物。简而言之，Topos 理论 (Topos Theory) 是研究平面上连续函数的线性代数结构的理论。然而，当我们将“平面”替换为带有 Grothendieck 拓扑的位形时，这一理论便开启了一个庞大的数学宇宙。正因其宏大的理论框架，Topos 理论恰好适用于处理现代信息世界中的复杂结构。该理论由 Grothendieck 及其学生 Verdier (1935—1989) 首创，最早见于 1963 年他们在巴黎郊外 (Bures-sur-Yvette) 举办的讨论班。长期以来，Topos 理论仅被少数代数几何学家和几何逻辑学家使用，但进入 21 世纪后，其应用范围迅速扩展，涵盖信息系统控制、网络管理、神经网络、计算复杂性、量子理论与量子计算等领域。特别是近年来，华为巴黎研究中心在 6G 技术与人工智能研究中运用 Topos 理论，以及菲尔兹奖得主 Lafforgue 加入华为后的相关工作，使人们更加认识到这一理论的重要价值。我们相信，其他电子工业发达的国家也在进行类似研究。然而，目前我国的高校和企业尚未系统讲授或应用 Topos 理论，亟需突破这一困境。本书的目的，正是帮助读者理解并掌握 Topos 理论，推动其在国内的发展与应用。

注：目前国内已有 Topos 理论的相关课程

有人认为无需中文书籍，直接阅读外文原著即可。我们固然支持有时间和能力的人研读原始文献，但对大多数读者而言，他们更希望获得一份介绍性材料 —— 既能说明理论来源和后续发展，又能快速掌握并应用。本书正是为此而作。例如，Grothendieck 在 [SGA] 4-1, Exp. II 第 4 页就定义了层，而我们则用 20 页篇幅来阐释这一概念。目前，除了少数从逻辑学角度讨论 Topos 的教材外，尚未见专门研究 Topos 理论的中外文著作。就此而言，本书应是该领域的首部著作。

以下介绍本书的内容。试想若将人的骨架抽离，剩下的皮肉脏腑将无法自立。范畴就是 Topos 理论的骨架。为便于更多读者理解，我们从范畴的基本定义入手，循序渐进地展开论述。在正式构建 Topos 之前，每章均以读者熟悉的数学结构作为切入点。

第一章以集合拓扑为引，逐步引入范畴的 Grothendieck 拓扑。我们将阐明如何从覆盖过渡到逗号范畴的子范畴，并将赋予拓扑结构的范畴称为“位形”。这体现了 Grothendieck 的核心

第二章从预层的性质入手。有了拓扑，我们便可以在第二章阐明什么是层。我们还是从拓扑空间上的实值连续函数开始，得到一般拓扑空间的层的定义。和第一章一样，第二章分为两部分：先讨论预位形的层，再处理位形的层。

畴) 时，尽管不清楚这个层范畴里的层是在什么位形和什么拓扑上，但我们仍可运用合适的有关层范畴的一切工具 (如同调代数、同伦代数)来对其进行分析，这也是华为巴黎研究中心用来研究神经网络的一个重要方法。

在前四章中，我们主要说明概念、定义和从定义中得到的一些基本结果。第五章系统整理本书 (特别是第六章) 所使用的范畴性质，以方便读者查阅。部分定理的证明详见第六章。

第八章以概述 Grothendieck、Verdier 和 Deligne 三代人关于导出函子的构造工作为开篇，并重点介绍了 Deligne 对 Verdier 的补充工作。之后，我们定义 Topos 的模导出函子的构造，并引入处理非交换环张量积的 Berthelot 规则和未发表的 Berthelot 对 Topos 极限的构

数学是一门内容丰富且不断创新的学科。若不是电子科技工业对 Topos 理论应用的研究，也许就不会有这本书。是否要掌握 Topos 理论取决于个人兴趣和数学基础，毕竟它并非每个人都必须学习的数学内容。学习 Topos 理论需要投入时间加倍努力，反复思考以求认识和适应这个陌生的领域。读者最初接触它时往往难以理解，但习惯后它便会成为有用的工具。和所有学问一样，未懂之前都觉得困难，明白之后便觉得显而易见了。

本书比较适合已经学习过大学本科数学分析、一般拓扑学和线性代数的读者。对于书中的术语，我们提供了对应的英文；偶尔，我们也提供了对应的法文。

由于作者水平有限，书中难免存在错误，敬请读者指正。

黎景辉，2025年4月

参考文献

[1] [SGA] A. Grothendieck, et. al., Séminaire de Géométric Algébrique, Springer Lect. Notes Math., [SGA 1] 224; [SGA 3] 151, 152, 153; [SGA 4] 269, 270, 305; [SGA 5] 569; [SGA 6] 225; [SGA 7] 288, 340. [SGA 2] Cohomologie locale des Faisceaux Cohérents et Théorèmes de Lefschetz locaux et Globaux, North-Holland, Amsterdam, 1968.

[2] [BeB 22] J-C. Belfiore, D. Bennequin, Topos and stacks of deep neural networks, Huawei Advanced Wireless Technology Lab, Paris, 2022.

[3] [LaiDEA 24] 黎景辉, 微分方程和代数, 北京: 高等教育出版社, 2024.

作者简介

黎景辉，澳大利亚悉尼大学数学系教授，国际知名的数学家。1974 年在美国耶鲁大学获博士学位，曾在世界上若干重要的研究机构和高等学校任职，主要的研究方向是代数学，在现代数论的主要方向 (模形式与自守表示、算术代数几何) 上都有很深的造诣。

《Topos 理论》（高等教育出版社，2025年11月）

本书的目的是帮助读者了解并掌握 Topos 理论的相关内容，作者从范畴论的基础开始，逐步引入 Grothendieck 拓扑、预层与层的概念，并最终定义拓扑及其性质。

全书共分为八章，前四章主要介绍基本概念和定义，第五章总结了范畴论的相关性质，第六章提供了部分定理的证明，第七章和第八章则深入探讨了 Topos 的同调代数理论，特别是导出函子的构造及其在非交换环和微分方程中的应用，最后的附录总结了 Topos 理论的历史背景及其在现代数学和科学研究中的重要性。